Signaalin käsittelyn perusteet 1. välikoe

132 korttia

Harjoittele tätä settiä Hiffaassa Kirjaudu

L1 | Mitä näytteistys tekee jatkuva-aikaiselle signaalille $x_c(t)$ ?
Se muodostaa diskreettiaikaisen jonon $x(n)=x_c(nT)$ , missä $T$ on peräkkäisten näytteiden aikaväli.
L1 | Mikä on näytteenottovälin $T$ ja näytteenottotaajuuden $F_s$ välinen yhteys?
$F_s=\frac{1}{T}$ ja vastaavasti $T=\frac{1}{F_s}$ .
L1 | Mitä näytteenottotaajuus $F_s$ tarkoittaa käytännössä?
Se kertoo montako näytettä otetaan sekunnissa. Yksikkö on hertsi eli Hz.
L1 | Miten jatkuva-aikaisen termin $\cos(\Omega t)$ tai $\sin(\Omega t)$ taajuus muutetaan hertseiksi?
$f=\frac{\Omega}{2\pi}$ , missä $\Omega$ on kulmataajuus radiaaneina sekunnissa.
L1 | Miten löydät useasta sini- ja kosinitermistä koostuvan signaalin suurimman taajuuden?
Muunna jokaisen termin kulmataajuus hertseiksi kaavalla $f=\Omega/(2\pi)$ ja valitse suurin saatu $f$ .
L1 | Mikä on näytteenottoteoreeman perusehto?
Jatkuva-aikainen kaistarajoitettu signaali voidaan muodostaa näytteistä, kun $F_s\ge 2f_{\max}$ .
L1 | Mikä on Nyquistin taajuus?
$f_N=\frac{F_s}{2}$ . Se on näytteenottotaajuudella $F_s$ suurin taajuus, joka voidaan ideaalitapauksessa esittää ilman laskostumista.
L1 | Miten lasket pienimmän sallitun näytteenottotaajuuden, kun suurin signaalitaajuus on $f_{\max}$ ?
$F_{s,\min}=2f_{\max}$ .
L1 | Miten lasket suurimman sallitun näytteenottovälin, kun suurin signaalitaajuus on $f_{\max}$ ?
$T_{\max}=\frac{1}{2f_{\max}}$ .
L1 | Esimerkki: $x(t)=2\cos(120\pi t)-0.7\sin(30\pi t)+\cos(200\pi t)+\cos(180\pi t)$ . Mikä on suurin taajuus?
Termien taajuudet ovat $60$ , $15$ , $100$ ja $90$ Hz, joten $f_{\max}=100$ Hz.
L1 | Edellisen esimerkin signaalille mikä on suurin näytteenottoväli ilman laskostumista?
$F_{s,\min}=2\cdot100=200$ Hz, joten $T_{\max}=1/200=0.005$ s.
L1 | Mitä laskostuminen eli aliasing tarkoittaa?
Liian pieni $F_s$ saa korkean analogisen taajuuden näyttämään näytteissä matalammalta taajuudelta. Eri jatkuva-aikaisilla sinisignaaleilla voi olla samat näytearvot.
L1 | Miten lasket yhden sinitaajuuden laskostuneen taajuuden käytännössä?
Etsi kokonaisluku $k$ niin, että $f_{alias}=|f-kF_s|$ osuu välille $0\le f_{alias}\le F_s/2$ .
L1 | Esimerkki: signaalin taajuus on 1000 Hz ja näytteitä otetaan 0.0008 s välein. Mikä digitaalisen signaalin havaittu taajuus on?
$F_s=1/0.0008=1250$ Hz ja $f_{alias}=|1000-1250|=250$ Hz.
L1 | Mikä on pienin näytteenottotaajuus 1000 Hz siniaallolle näytteenottoteoreeman mukaan?
$F_{s,\min}=2\cdot1000=2000$ Hz.
L1 | Miksi täsmälleen Nyquistin rajalla $F_s=2f$ näytteenoton aloitusvaihe voi olla tärkeä?
Tietyllä vaiheella kaikki näytteet voivat osua nollakohtiin. Silloin näytejono ei sisällä riittävästi tietoa siniaallon amplitudista ja vaiheesta, vaikka $F_s=2f$ .
L1 | Esimerkki: $x(t)=\sin(20\pi t)$ ja $T=0.05$ s. Mitkä näytteet saadaan, jos näytteenotto alkaa hetkestä $t_0=0$ ?
Taajuus on 10 Hz ja $F_s=20$ Hz. Näytteet ovat $x(n)=\sin(\pi n)=0$ kaikilla kokonaisluvuilla $n$ .
L1 | Sama signaali $x(t)=\sin(20\pi t)$ ja $T=0.05$ s. Mitkä näytteet saadaan, jos aloitushetki on $t_0=0.025$ s?
$x(n)=\sin(20\pi(0.025+0.05n))=\sin(\pi/2+\pi n)=(-1)^n$ , eli näytteet vuorottelevat $1,-1,1,-1,\ldots$ .
L1 | Miksi ennen A/D-muunnosta käytetään tarvittaessa anti-aliasing-suodatinta?
Sillä poistetaan analogisesta signaalista taajuudet yli $F_s/2$ , jotta ne eivät laskostu alemmille taajuuksille.
L1 | Miten analoginen taajuus $f$ muutetaan diskreettiaikaiseksi kulmataajuudeksi $\omega$ ?
$\omega=2\pi\frac{f}{F_s}$ rad/näyte.
L2 | Miten yksikkönäyte eli impulssi $\delta(n)$ määritellään?
$\delta(n)=1$ , kun $n=0$ , ja $\delta(n)=0$ muuten.
L2 | Miten yksikköaskel $u(n)$ määritellään?
$u(n)=1$ , kun $n\ge0$ , ja $u(n)=0$ , kun $n<0$ .
L2 | Mikä on impulssin ja yksikköaskeleen välinen yhteys?
$\delta(n)=u(n)-u(n-1)$ .
L2 | Miten mikä tahansa jono voidaan esittää siirrettyjen ja painotettujen impulssien summana?
$x(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)\delta(n-k)$ .
L2 | Missä kohdassa impulssi $\delta(n-k)$ sijaitsee?
Kohdassa $n=k$ . Sen kerroin on kyseisen näytteen paino.
L2 | Missä kohdassa impulssi $\delta(n+k)$ sijaitsee?
Kohdassa $n=-k$ . Esimerkiksi $\delta(n+3)$ sijaitsee kohdassa $n=-3$ .
L2 | Miten luet painon impulssiesityksestä kohdassa $n=m$ ?
Etsi termi $c\delta(n-m)$ . Tällöin $x(m)=c$ .
L2 | Esimerkki: $x(n)=(-4,5,1,-2,-3,0,2)$ indekseille $n=-3,-2,\ldots,3$ . Mikä on impulssiesitys?
$x(n)=-4\delta(n+3)+5\delta(n+2)+\delta(n+1)-2\delta(n)-3\delta(n-1)+0\delta(n-2)+2\delta(n-3)$ .
L2 | Edellisen jonon tapauksessa mitkä ovat painot järjestyksessä $\delta(n-3),\delta(n-2),\delta(n-1),\delta(n),\delta(n+1),\delta(n+2),\delta(n+3)$ ?
$2,0,-3,-2,1,5,-4$ .
L2 | Milloin diskreettiaikainen signaali on jaksollinen?
Kun löytyy positiivinen kokonaisluku $N$ , jolle $x(n)=x(n+N)$ kaikilla $n$ . Pienintä tällaista $N$ :ää kutsutaan perusjaksoksi.
L2 | Mikä on sinijonon $x(n)=\sin(\omega n)$ jakson pituuden ehdokas?
$N=\frac{2\pi}{\omega}$ . Jono on aidosti jaksollinen vain, jos sopiva jakson pituus on kokonaisluku.
L2 | Mitä lohkokaavion $z^{-1}$ tarkoittaa?
Yhden näytteen viivettä. Jos sisäänmeno on $x(n)$ , ulostulo on $x(n-1)$ .
L2 | Mitä lohkokaavion $z^{-d}$ tarkoittaa?
$d$ näytteen viivettä, eli $y(n)=x(n-d)$ .
L2 | Miten FIR-tyyppinen viivelinja luetaan differenssiyhtälöksi?
Jokainen haara antaa termin kerroin kertaa vastaava viivästetty näyte. Kaikki haarat summataan ulostuloksi.
L2 | Esimerkki: viivelinjan kertoimet ovat $0.3,-1.2,1.0,0.3$ . Mikä on differenssiyhtälö?
$y(n)=0.3x(n)-1.2x(n-1)+1.0x(n-2)+0.3x(n-3)$ .
L2 | Mikä on lineaarisuuden testi järjestelmälle $F$ ?
$F[ax_1(n)+bx_2(n)]=aF[x_1(n)]+bF[x_2(n)]$ kaikilla signaaleilla ja vakioilla $a,b$ .
ELI
Järjestelmä F on lineaarinen, jos signaalien yhteenlasku ja vakiolla kertominen voidaan tehdä joko ennen järjestelmää tai sen jälkeen, ja tulos on sama.
L2 | Mitkä rakenteet ovat selviä merkkejä epälineaarisuudesta?
Esimerkiksi $x(n)^2$ , $e^{x(n)}$ , $|x(n)|$ tai kahden signaalinäytteen kertominen keskenään.
L2 | Mikä on siirtoinvarianssin testi?
Jos $y(n)=F[x(n)]$ , järjestelmän pitää toteuttaa $F[x(n-k)]=y(n-k)$ kaikilla kokonaisluvuilla $k$ .
ELI
siirtoinvariantissa järjestelmässä viive voidaan tehdä ennen järjestelmää tai järjestelmän jälkeen, ja tulos on sama. Toisin sanoen syötteen siirtäminen $k$ näytettä siirtää myös lähdön täsmälleen $k$ näytettä:
L2 | Mikä kaavassa usein paljastaa, ettei järjestelmä ole siirtoinvariantti?
Indeksin $n$ esiintyminen erillisenä kertoimena tai muuten eksplisiittisesti. Esimerkiksi $y(n)=nx(n)$ on aikavaihtuva.
L2 | Onko $y(n)=2x(n)-nx(n-1)$ lineaarinen?
Kyllä. Ulostulo on herätteen näytteiden lineaarikombinaatio, vaikka kerroin riippuu indeksistä $n$ .
L2 | Onko $y(n)=2x(n)-nx(n-1)$ siirtoinvariantti?
Ei. Kerroin $n$ muuttuu ajan mukana, joten siirto ennen ja jälkeen järjestelmän antaa eri tuloksen.
L2 | Milloin järjestelmä on kausaalinen?
Kun $y(n)$ riippuu vain nykyisestä ja menneistä herätteen arvoista $x(n),x(n-1),\ldots$ , ei tulevista $x(n+1),x(n+2),\ldots$ .
L2 | Mikä termi tekee järjestelmästä välittömästi ei-kausaalisen?
Tuleva näyte kuten $x(n+1)$ tai yleisemmin $x(n+k)$ , missä $k>0$ .
L2 | Onko $y(n)=\frac13\sum_{k=-1}^{1}x(n-k)$ kausaalinen?
Ei. Kun $k=-1$ , mukana on $x(n+1)$ , eli tuleva näyte.
L2 | Onko $y(n)=\frac13\sum_{k=-1}^{1}x(n-k)$ lineaarinen ja siirtoinvariantti?
Kyllä. Se on kiinteäkertoiminen konvoluutiotyyppinen summa, joten se on LTI, vaikka se ei ole kausaalinen.
L2 | Mitä LTI tarkoittaa?
Linear Time-Invariant eli lineaarinen ja siirtoinvariantti järjestelmä.
L2 | Mikä on LTI-järjestelmän impulssivaste?
$h(n)=F[\delta(n)]$ , eli järjestelmän vaste yksikköimpulssiin.
L2 | Mikä on konvoluutiosumman peruskaava?
$y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k)h(n-k)$ .
L2 | Mikä on konvoluution vaihtoehtoinen mutta yhtäpitävä muoto?
$y(n)=h(n)*x(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h(k)x(n-k)$ .
L2 | Mikä tärkeä ominaisuus konvoluutiolla on?
Kommutatiivisuus: $x*h=h*x$ .
L2 | Mitä tapahtuu, kun signaali konvoloidaan siirretyn impulssin kanssa?
$x(n)*\delta(n-d)=x(n-d)$ . Painotettuna $c\delta(n-d)$ antaa $cx(n-d)$ .
L2 | Miten lyhyiden, impulssisummina annettujen jonojen konvoluutio lasketaan nopeasti?
Kerro jokainen ensimmäisen jonon kerroin jokaisella toisen jonon kertoimella ja kokoa samaan viiveeseen osuvat tulot yhteen. Tämä vastaa polynomikertolaskua.
L2 | Esimerkki: $x(n)=-\delta(n)+2\delta(n-1)-\delta(n-2)$ ja $h(n)=\delta(n)-\delta(n-1)$ . Mikä on $y=x*h$ ?
$y(n)=-\delta(n)+3\delta(n-1)-3\delta(n-2)+\delta(n-3)$ .
L2 | Mikä on kahden LTI-järjestelmän kaskaadin impulssivaste?
Kokonaisjärjestelmän impulssivaste on $h(n)=h_1(n)*h_2(n)$ .
L2 | Esimerkki: ensimmäisen FIR-osan kertoimet ovat $(3,1,1)$ ja toisen $(1,-2,1)$ . Mitkä ovat kaskadin kertoimet?
Konvoluutio antaa $(3,-5,2,-1,1)$ , joten $y(n)=3x(n)-5x(n-1)+2x(n-2)-x(n-3)+x(n-4)$ .
L2 | Milloin LTI-järjestelmä on kausaalinen impulssivasteen perusteella?
Täsmälleen silloin, kun $h(n)=0$ kaikilla $n<0$ .
L2 | Milloin LTI-järjestelmä on BIBO-stabiili impulssivasteen perusteella?
Kun $\sum_{k=-\infty}^{\infty}|h(k)|<\infty$ .
L2 | Mikä erottaa FIR- ja IIR-suotimen?
FIR-suodattimen impulssivaste on äärellisen mittainen. IIR-suodattimen impulssivasteessa on äärettömän monta nollasta poikkeavaa termiä.
L2 | Mikä on kausaalisen FIR-suotimen yleinen muoto?
$y(n)=\sum_{k=0}^{M}h(k)x(n-k)$ .
L2 | Miten FIR-suotimen aste ja kertoimien määrä liittyvät toisiinsa?
Jos suurin viive on $M$ , suotimen aste on $M$ ja kertoimia on $M+1$ .
L2 | Mikä on luentojen käyttämä IIR-differenssiyhtälön yleinen muoto?
$y(n)=\sum_{k=0}^{K}a_kx(n-k)+\sum_{m=1}^{M}b_my(n-m)$ .
L2 | Mikä IIR-rakenteessa aiheuttaa äärettömän impulssivasteen?
Takaisinkytkentä eli aikaisempien ulostulojen $y(n-m)$ käyttäminen uusien ulostulojen laskennassa.
L3 | Mikä on diskreettiaikaisen ei-jaksollisen signaalin DTFT?
$X(e^{i\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-i\omega n}$ .
L3 | Mikä on DTFT:n käänteismuunnos?
$x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{i\omega})e^{i\omega n}\,d\omega$ .
L3 | Mikä geometrinen sarja kannattaa tunnistaa DTFT- ja z-muunnoslaskuissa?
$\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac{1}{1-r}$ , kun $|r|<1$ .
L3 | Mikä on jonon $x(n)=a^n u(n)$ DTFT, kun $|a|<1$ ?
$X(e^{i\omega})=\frac{1}{1-ae^{-i\omega}}$ .
L3 | Mikä on jonon $x(n)=(-0.9)^n u(n)$ DTFT?
$X(e^{i\omega})=\frac{1}{1+0.9e^{-i\omega}}$ .
L3 | Mikä on DTFT:n taajuusmuuttujan yhteys fyysiseen taajuuteen $f$ ?
$\omega=2\pi f/F_s$ . Nyquistin taajuus $f=F_s/2$ vastaa kulmataajuutta $\omega=\pi$ .
L3 | Mitä $|X(e^{i\omega})|$ kertoo?
Se kertoo, kuinka voimakkaasti kyseinen kulmataajuus esiintyy signaalin taajuussisällössä.
L3 | Mikä on N-pisteisen DFT:n määritelmä luentojen merkinnällä $w_N=e^{2\pi i/N}$ ?
$X(n)=\sum_{k=0}^{N-1}x(k)w_N^{-kn}$ .
L3 | Mikä on käänteisen DFT:n eli IDFT:n kaava?
$x(n)=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X(k)w_N^{kn}$ .
L3 | Mikä on $w_N$ ja mikä sen tärkeä ominaisuus on?
$w_N=e^{2\pi i/N}$ on ykkösen N:s juuri ja $w_N^N=1$ .
L3 | Miten DFT-indeksejä käsitellään jaksollisuuden vuoksi?
$X(k+N)=X(k)$ . Esimerkiksi $X(-1)=X(N-1)$ .
L3 | Mikä symmetria pätee DFT:lle, kun aikatasosignaali $x(n)$ on reaalinen?
$X(N-k)=\overline{X(k)}$ indekseille $k=1,\ldots,N-1$ . Tätä kutsutaan konjugaattisymmetriaksi.
L3 | Mitä konjugaattisymmetria tarkoittaa reaali- ja imaginaariosille?
$\operatorname{Re}X(N-k)=\operatorname{Re}X(k)$ ja $\operatorname{Im}X(N-k)=-\operatorname{Im}X(k)$ .
L3 | Mitä konjugaattisymmetria tarkoittaa itseisarvolle ja vaiheelle?
$|X(N-k)|=|X(k)|$ ja vaihe on vastakkaismerkkinen modulo $2\pi$ .
L3 | Mitkä DFT-kertoimet ovat reaalisia reaaliselle signaalille, kun $N$ on parillinen?
$X(0)$ ja $X(N/2)$ ovat reaalisia.
L3 | Kun $N=8$ , mitkä indeksiparit ovat konjugaattipareja?
$X(1)\leftrightarrow X(7)$ , $X(2)\leftrightarrow X(6)$ ja $X(3)\leftrightarrow X(5)$ . $X(0)$ ja $X(4)$ ovat reaalisia.
L3 | Esimerkki: $N=8$ , $X(1)=2-19i$ , $X(3)=-8+14i$ , $X(6)=-12+13i$ . Mitkä ovat $X(7)$ , $X(5)$ ja $X(2)$ reaaliselle signaalille?
$X(7)=2+19i$ , $X(5)=-8-14i$ ja $X(2)=-12-13i$ .
L3 | Miten DFT käsittelee konvoluutiota?
Aikatason konvoluutio muuttuu taajuustasossa kertolaskuksi: $x_1*x_2\leftrightarrow X_1X_2$ .
L3 | Mikä on radix-2 FFT:n perusidea?
Jaa N-pisteinen jono parillisindeksisiin ja paritonindeksisiin näytteisiin, laske niiden N/2-pisteiset DFT:t ja yhdistä tulokset.
L3 | Miten FFT:n osajonot määritellään?
$x_0(k)=x(2k)$ ja $x_1(k)=x(2k+1)$ . Niiden DFT:t ovat $X_0(k)$ ja $X_1(k)$ .
L3 | Miten FFT:n ensimmäinen puolisko yhdistetään?
$X(k)=X_0(k)+w_N^{-k}X_1(k)$ , kun $k=0,1,\ldots,N/2-1$ .
L3 | Miten FFT:n toinen puolisko yhdistetään käytännöllisessä muodossa?
$X(k+N/2)=X_0(k)-w_N^{-k}X_1(k)$ , kun $k=0,1,\ldots,N/2-1$ .
L3 | Mikä ehto radix-2 FFT:llä on jonon pituudelle?
$N$ on kahden potenssi eli $N=2^m$ .
L3 | Esimerkki: N=8, $X_0=(15,6-i,1,6+i)$ ja $X_1=(2,0,-10,0)$ . Mikä on koko DFT?
$X=(17,6-i,1+10i,6+i,13,6-i,1-10i,6+i)$ .
L3 | Miksi FFT on nopeampi kuin DFT:n suora matriisilasku?
Suora lasku on suuruusluokkaa $O(N^2)$ , radix-2 FFT suuruusluokkaa $O(N\log N)$ .
L4 | Mikä on z-muunnoksen määritelmä?
$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}$ .
L4 | Miten äärellisen jonon z-muunnos luetaan suoraan näytearvoista?
Jokainen näyte $x(n)$ tuottaa termin $x(n)z^{-n}$ . Kaikki nollasta poikkeavat termit summataan.
L4 | Mitä z-muunnoksessa tapahtuu negatiiviselle aikaindeksille?
Koska termi on $z^{-n}$ , negatiivinen $n$ tuottaa positiivisen z-potenssin. Esimerkiksi $x(-1)$ tuottaa termin $x(-1)z$ .
L4 | Esimerkki: $x(-1)=2$ , $x(0)=1$ , $x(2)=2$ ja $x(3)=-3$ . Mikä on z-muunnos?
$X(z)=2z+1+2z^{-2}-3z^{-3}$ .
L4 | Mikä on impulssin $\delta(n)$ z-muunnos?
$\mathcal{Z}\{\delta(n)\}=1$ .
L4 | Mikä on viivästetyn impulssin $\delta(n-d)$ z-muunnos?
$\mathcal{Z}\{\delta(n-d)\}=z^{-d}$ .
L4 | Mikä on yksikköaskeleen $u(n)$ z-muunnos?
$\mathcal{Z}\{u(n)\}=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1}$ , ROC $|z|>1$ .
L4 | Mikä on eksponenttijonon $a^n u(n)$ z-muunnos?
$\mathcal{Z}\{a^n u(n)\}=\frac{1}{1-az^{-1}}=\frac{z}{z-a}$ , ROC $|z|>|a|$ .
L4 | Mikä on jonon $0.8^n u(n)$ z-muunnos?
$X(z)=\frac{1}{1-0.8z^{-1}}$ .
L4 | Mikä on z-muunnoksen viivästysominaisuus?
Jos $x(n)\leftrightarrow X(z)$ , niin $x(n-d)\leftrightarrow z^{-d}X(z)$ .
L4 | Mikä on konvoluution z-muunnos?
Jos $w(n)=x(n)*y(n)$ , niin $W(z)=X(z)Y(z)$ .
L4 | Mitä rationaalisen z-muunnoksen navat ja nollat ovat?
Nollat ovat osoittajan nollakohdat ja navat nimittäjän nollakohdat.
L4 | Miksi negatiiviset z-potenssit yleensä poistetaan ennen napojen ja nollien laskemista?
Kertomalla osoittaja ja nimittäjä sopivalla $z^M$ :llä saadaan tavalliset polynomit, joiden juuret voidaan ratkaista suoraan.
L4 | Mikä on LTI-järjestelmän siirtofunktio?
$H(z)=\mathcal{Z}\{h(n)\}=\frac{Y(z)}{X(z)}$ , kun alkuarvot oletetaan nolliksi.
L4 | Mikä yhteys konvoluutiolla ja siirtofunktiolla on?
$y=h*x$ muuttuu z-tasossa muotoon $Y(z)=H(z)X(z)$ .
L4 | Mikä on FIR-suotimen siirtofunktio, kun $y(n)=\sum_{k=0}^{M}h(k)x(n-k)$ ?
$H(z)=\sum_{k=0}^{M}h(k)z^{-k}$ .
L4 | Mikä on luentojen IIR-muodon $y(n)=\sum_{k=0}^{K}a_kx(n-k)+\sum_{m=1}^{M}b_my(n-m)$ siirtofunktio?
$H(z)=\frac{\sum_{k=0}^{K}a_kz^{-k}}{1-\sum_{m=1}^{M}b_mz^{-m}}$ .
L4 | Miten siirtofunktio johdetaan differenssiyhtälöstä?
Ota z-muunnos puolittain, korvaa viive $x(n-k)$ termillä $z^{-k}X(z)$ ja $y(n-m)$ termillä $z^{-m}Y(z)$ , ryhmittele $Y(z)$ ja $X(z)$ ja ratkaise $H(z)=Y(z)/X(z)$ .
L4 | Esimerkki: $y(n)=x(n)-2x(n-1)+x(n-2)+3y(n-1)-\frac{37}{16}y(n-2)$ . Mikä on $H(z)$ ?
$H(z)=\frac{1-2z^{-1}+z^{-2}}{1-3z^{-1}+\frac{37}{16}z^{-2}}$ .
L4 | Miten löydät navat ja nollat siirtofunktiosta $H(z)$ ?
Poista negatiiviset potenssit kertomalla sopivalla z-potenssilla. Ratkaise osoittajan juuret nolliksi ja nimittäjän juuret navoiksi.
L4 | Esimerkki: $y(n)=x(n)-x(n-1)+0.5x(n-2)+3y(n-1)-2y(n-2)$ . Mitkä ovat navat?
Nimittäjä on $1-3z^{-1}+2z^{-2}$ . Muodossa $z^2-3z+2$ juuret ovat $z=1$ ja $z=2$ .
L4 | Samassa esimerkissä mitkä ovat nollat?
Osoittaja on $1-z^{-1}+0.5z^{-2}$ . Muodossa $z^2-z+0.5$ juuret ovat $z=0.5\pm0.5i$ .
L4 | Miten siirtofunktiosta muutetaan takaisin differenssiyhtälöön luentojen merkkisäännöllä?
Kirjoita $H(z)=\frac{A(z)}{1-B(z)}$ . Osoittajan kertoimet ovat $a_k$ ja nimittäjän termissä $1-\sum b_mz^{-m}$ olevat $b_m$ tulevat plusmerkkisinä palautetermiin $\sum b_my(n-m)$ .
L4 | Esimerkki: $H(z)=\frac{z^2-1}{z^2-4z+5}$ . Miten se kirjoitetaan $z^{-1}$ -muotoon?
$H(z)=\frac{1-z^{-2}}{1-4z^{-1}+5z^{-2}}$ .
L4 | Edellisen $H(z)$ :n differenssiyhtälön kertoimet muodossa $y(n)=a_0x(n)+a_1x(n-1)+a_2x(n-2)+b_1y(n-1)+b_2y(n-2)$ ?
$a_0=1$ , $a_1=0$ , $a_2=-1$ , $b_1=4$ ja $b_2=-5$ .
L4 | Mikä on taajuusvaste $H(e^{i\omega})$ ?
Se saadaan sijoittamalla siirtofunktioon $z=e^{i\omega}$ . Samalla se on impulssivasteen DTFT.
L4 | Mikä on taajuusvasteen laskentakaava impulssivasteesta?
$H(e^{i\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h(n)e^{-i\omega n}$ .
L4 | Mikä on amplitudivaste?
$|H(e^{i\omega})|$ . Se kertoo, millä kertoimella kyseisen taajuuden amplitudi muuttuu.
L4 | Mikä on vaihevaste?
$\arg(H(e^{i\omega}))$ . Se kertoo kyseisen taajuuskomponentin vaiheensiirron.
L4 | Mitä tapahtuu sinimuotoiselle syötteelle LTI-järjestelmässä taajuudella $\omega$ ?
Vakiotilassa taajuus säilyy samana. Amplitudi kerrotaan arvolla $|H(e^{i\omega})|$ ja vaiheeseen lisätään $\arg(H(e^{i\omega}))$ .
L4 | Jos $x(n)=A_0\sin(\omega n+\theta)$ , mikä on sinivasteen perusmuoto?
$y(n)=A_0|H(e^{i\omega})|\sin(\omega n+\theta+\arg H(e^{i\omega}))$ vakiotilassa.
L4 | Miten fyysinen taajuus $f$ sijoitetaan taajuusvasteeseen, kun näytteenottotaajuus on $F_s$ ?
Laske ensin $\omega=2\pi f/F_s$ ja evaluoi sitten $H(e^{i\omega})$ .
L4 | Miten kompleksiluvun $a+ib$ itseisarvo lasketaan?
$|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$ . Tätä käytetään amplitudivasteen laskemiseen.
L4 | Miten kompleksiluvun vaihe kannattaa laskea?
$\arg(a+ib)=\operatorname{atan2}(b,a)$ , jotta oikea neljännes tulee huomioiduksi.
L4 | Esimerkki: $y(n)=-\frac14x(n)+\frac12x(n-1)-\frac14x(n-2)$ ja $F_s=18000$ Hz. Mikä $\omega$ vastaa taajuutta 4500 Hz?
$\omega=2\pi\frac{4500}{18000}=\frac{\pi}{2}$ .
L4 | Samassa esimerkissä mikä on $H(e^{i\pi/2})$ ?
$H(e^{i\pi/2})=-\frac14+\frac12e^{-i\pi/2}-\frac14e^{-i\pi}=-\frac{i}{2}$ .
L4 | Samassa esimerkissä mikä on amplitudivaste taajuudella 4500 Hz?
$|H(e^{i\pi/2})|=|-i/2|=0.5$ .
L4 | Esimerkki: $h(0)=\frac12$ , $h(1)=1$ , $h(2)=\frac12$ . Mikä on siirtofunktio?
$H(z)=\frac12+z^{-1}+\frac12z^{-2}$ .
L4 | Edellisen suotimen taajuusvaste voidaan sieventää miten?
$H(e^{i\omega})=\frac12+e^{-i\omega}+\frac12e^{-2i\omega}=e^{-i\omega}(1+\cos\omega)$ .
L4 | Kun edelliseen suotimeen syötetään $x(n)=u(n)\sin(\frac15\cdot2\pi n)$ , mikä on kulmataajuus?
$\omega=\frac{2\pi}{5}=0.4\pi$ .
L4 | Samassa tehtävässä mikä on amplitudikerroin $A=|H(e^{i\omega})|$ ?
$A=1+\cos(0.4\pi)\approx1.3090$ .
L4 | Samassa tehtävässä mikä on vaiheensiirto $\phi$ ?
Koska $H(e^{i\omega})=e^{-i\omega}(1+\cos\omega)$ ja amplituditekijä on positiivinen, $\phi=-\omega=-0.4\pi\approx-1.2566$ .
L4 | Mikä on edellisen tehtävän vasteen muoto?
$y(n)\approx1.3090u(n)\sin(0.4\pi n-1.2566)$ .
L4 | Milloin kausaalinen rationaalinen LTI-järjestelmä on stabiili napojen perusteella?
Kun kaikki siirtofunktion navat ovat yksikköympyrän sisällä eli $|p_k|<1$ .
L4 | Mikä yhteys taajuusvasteen olemassaololla ja z-muunnoksen suppenemisalueella on?
Taajuusvaste $H(e^{i\omega})$ on määritelty, jos yksikköympyrä $|z|=1$ kuuluu siirtofunktion suppenemisalueeseen.

Opettele nämä kortit Hiffaassa

Hiffaa kysyy kortit sinulta, näyttää vihjeen tarvittaessa ja ajoittaa kertaukset niin, että asiat pysyvät mielessä kokeeseen asti. Tekoälytuutori selittää, mikä meni pieleen.

Harjoittele tätä settiä Hiffaassa Kirjaudu