signaalin käsittely tehtävät 1. välikoe

Näytteenottotaajuus on Fs = 1/T = 1/0.0008 = 1250 Hz. Nyquistin taajuus on Fs/2 = 625 Hz, joten 1000 Hz ylittää sen ja laskostuu. Laskostunut taajuus on |1000 - 1250| = 250 Hz, joten digitaalisen signaalin taajuus on 250 Hz.

Näytteenottoteoreeman mukaan näytteenottotaajuuden pitää olla vähintään kaksi kertaa signaalin suurin taajuus. Siksi Fs,min = 2 · 1000 Hz = 2000 Hz. Vastaus on 2000 Hz.

Muunnetaan kulmataajuudet tavallisiksi taajuuksiksi kaavalla f = ω/(2π). Komponenttien taajuudet ovat 60 Hz, 15 Hz, 100 Hz ja 90 Hz, joten suurin taajuus on 100 Hz. Näytteenottoteoreema vaatii Fs ≥ 200 Hz, joten suurin näytteenottoväli on T = 1/Fs = 1/200 = 0.005 s.

Signaalin taajuus on f = 20π/(2π) = 10 Hz ja näytteenottotaajuus on Fs = 1/0.05 = 20 Hz, eli ollaan täsmälleen Nyquistin rajalla. Tavassa 1 näytteet ovat sin(nπ) = 0, joten kaikki näytteet ovat nollia eikä alkuperäistä siniaaltoa voida päätellä niistä. Tavassa 2 näytteet ovat sin(π/2 + nπ) = (-1)^n, joten signaali näkyy näytteissä. Siksi tapa 1 ei mahdollista rekonstruktiota, mutta tapa 2 mahdollistaa.

Jokainen arvo x(k) kirjoitetaan terminä x(k)δ(n-k). Tästä saadaan x(n) = -4δ(n+3) + 5δ(n+2) + δ(n+1) - 2δ(n) - 3δ(n-1) + 0δ(n-2) + 2δ(n-3). Painot δ(n-3), δ(n-2), δ(n-1), δ(n), δ(n+1), δ(n+2), δ(n+3) ovat siis 2, 0, -3, -2, 1, 5, -4.

Jokainen haara tuo summaukseen oman painotetun ja viivästetyn näytteensä. Siksi vaste on suoraan haarojen summa: y(n) = 0.3x(n) - 1.2x(n-1) + 1.0x(n-2) + 0.3x(n-3).

Ensimmäisen osan lähtö on v(n) = 3x(n) + x(n-1) + x(n-2). Toinen osa antaa y(n) = v(n) - 2v(n-1) + v(n-2). Kun v-termit avataan ja samat viiveet yhdistetään, saadaan y(n) = 3x(n) - 5x(n-1) + 2x(n-2) - x(n-3) + x(n-4). Sama tulos saadaan konvoloimalla kerroinjonot [3,1,1] ja [1,-2,1].

Koska h(n) = δ(n) - δ(n-1), konvoluutio antaa y(n) = x(n) - x(n-1). Sijoittamalla x saadaan y(n) = -δ(n) + 3δ(n-1) - 3δ(n-2) + δ(n-3). Siksi painot δ(n+1), δ(n), δ(n-1), δ(n-2), δ(n-3), δ(n-4) ovat 0, -1, 3, -3, 1, 0.

Summa voidaan kirjoittaa y(n) = [x(n+1) + x(n) + x(n-1)]/3. Järjestelmä on lineaarinen, koska lähtö on tulojen painotettu summa, ja siirtoinvariantti, koska kertoimet eivät riipu ajasta n. Se ei ole kausaalinen, koska y(n) riippuu tulevasta näytteestä x(n+1).

Järjestelmä on kausaalinen, koska se käyttää vain nykyistä näytettä x(n) ja mennyttä näytettä x(n-1). Se on lineaarinen, koska x:ään ei kohdisteta epälineaarista operaatiota. Se ei ole siirtoinvariantti, koska kerroin n riippuu ajanhetkestä. Aikasiirto muuttaa siis järjestelmän kertoimia.

DTFT on geometrinen sarja X(e^{iω}) = Σ_{n=0}^{∞} (-0.9)^n e^{-iωn} = Σ_{n=0}^{∞} (-0.9e^{-iω})^n. Koska suhteen itseisarvo on 0.9 < 1, sarja suppenee muotoon 1/[1 - (-0.9e^{-iω})] = 1/(1 + 0.9e^{-iω}).

Reaaliarvoisen aikajonon DFT:llä on konjugaattisymmetria X(N-k) = X(k). Siksi X(2) = X(6) = -12-13i, X(5) = X(3) = -8-14i ja X(7) = X(1) = 2+19i.

FFT:n yhdistämiskaavat ovat X(k) = X0(k) + W8^k X1(k) ja X(k+4) = X0(k) - W8^k X1(k), missä W8 = e^{-i2π/8}. Kun k = 0,1,2,3, saadaan X(0)=17, X(1)=6-i, X(2)=1+10i, X(3)=6+i, X(4)=13, X(5)=6-i, X(6)=1-10i ja X(7)=6+i.

Z-muunnoksen määritelmä on X(z) = Σ x(n)z^{-n}. Näyte x(-1)=2 tuottaa termin 2z, x(0)=1 termin 1, x(2)=2 termin 2z^{-2} ja x(3)=-3 termin -3z^{-3}. Siis X(z) = 2z + 1 + 2z^{-2} - 3z^{-3}.

Z-muunnos on X(z) = Σ_{n=0}^{∞} 0.8^n z^{-n} = Σ_{n=0}^{∞} (0.8z^{-1})^n. Geometrisen sarjan summakaavalla X(z) = 1/(1 - 0.8z^{-1}), kun |0.8z^{-1}| < 1 eli suppenemisalueella |z| > 0.8.

Otetaan z-muunnos nolla-alkuehdoilla. Siirretään y-termit vasemmalle: Y(z)[1 - 3z^{-1} + (37/16)z^{-2}] = X(z)[1 - 2z^{-1} + z^{-2}]. Jakamalla Y(z)/X(z) saadaan H(z) = (1 - 2z^{-1} + z^{-2})/(1 - 3z^{-1} + (37/16)z^{-2}).

Siirtofunktio on H(z) = [1 - z^{-1} + 0.5z^{-2}]/[1 - 3z^{-1} + 2z^{-2}]. Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä z^2:lla. Nimittäjä z^2 - 3z + 2 = (z-1)(z-2), joten navat ovat 1 ja 2. Osoittajan z^2 - z + 0.5 juuret ovat z = (1 ± i)/2 = 0.5 ± 0.5i, joten nämä ovat nollat.

Jaetaan osoittaja ja nimittäjä z^2:lla: H(z) = (1 - z^{-2})/(1 - 4z^{-1} + 5z^{-2}). Ristiinkertomalla saadaan y(n) - 4y(n-1) + 5y(n-2) = x(n) - x(n-2). Ratkaistuna y(n):lle tämä on y(n) = x(n) - x(n-2) + 4y(n-1) - 5y(n-2). Siksi a0=1, a1=0, a2=-1, b1=4 ja b2=-5.

Taajuutta 4500 Hz vastaa digitaalinen kulmataajuus ω = 2πf/Fs = 2π·4500/18000 = π/2. Taajuusvaste on H(e^{iω}) = -1/4 + (1/2)e^{-iω} - (1/4)e^{-i2ω}. Kun ω = π/2, saadaan H = -1/4 - i/2 + 1/4 = -i/2. Amplitudivaste on itseisarvo |H| = 1/2 = 0.5.

Siniaalto on kulmataajuudella ω = 2π/5. Järjestelmän taajuusvaste on H(e^{iω}) = 1/2 + e^{-iω} + (1/2)e^{-i2ω} = e^{-iω}(1 + cosω). Siksi vahvistus on A = |H| = 1 + cos(2π/5) ≈ 1.3090 ja vaihe on φ = arg H = -ω = -2π/5 ≈ -1.2566 rad.