Signaalinkäsittelyn perusteet välikoe 2. tehtävät

10 korttia

Harjoittele tätä settiä Hiffaassa Kirjaudu

FIR-suodin suunnitellaan ikkunamenetelmällä. Näytteenottotaajuus on 44100 Hz. Suotimen tulee päästää läpi alle 10000 Hz:n taajuudet ja vaimentaa yli 12000 Hz:n taajuudet.
Laske tarvittavien kertoimien määrä $N$ suorakulmaisella, Hanning-, Hamming- ja Blackman-ikkunalla.
1. Laske normalisoitu siirtymäkaistan leveys: $\Delta f = \frac{12000 - 10000}{44100} \approx 0.0454$ .
2. Käytä kunkin ikkunan kaavaa: suorakulmainen $N = 0.9/\Delta f$ , Hanning $N = 3.1/\Delta f$ , Hamming $N = 3.3/\Delta f$ , Blackman $N = 5.5/\Delta f$ .
3. Pyöristä ylöspäin kokonaisluvuksi ja tarvittaessa seuraavaan parittomaan lukuun (symmetrinen suodin, jolla on keskinäyte).
Tulokset: suorakulmainen $19.8 \to 21$ , Hanning $68.4 \to 69$ , Hamming $72.8 \to 73$ , Blackman $121.3 \to 122 \to 123$ .
FIR-suodin ikkunamenetelmällä. Päästökaista [0 kHz, 4 kHz], estokaista [6 kHz, 9 kHz], päästökaistan maksimivärähtely 0.5 dB, estokaistan minimivaimennus 30 dB, näytteenottotaajuus 18 kHz.
Valitse suodintyyppi, ikkuna, normalisoitu siirtymäkaistan leveys $\Delta f$ , normalisoitu parametri $f_c$ ja impulssivasteen pituus $N$ .
1. Suodintyyppi: matalat taajuudet päästetään ja korkeat estetään, joten alipäästö.
2. Ikkuna: valitse ikkunataulukosta kevyin ikkuna, joka täyttää molemmat vaatimukset. Suorakulmainen (n. 0.74 dB, 21 dB) ei riitä, Hanning (n. 0.055 dB, 44 dB) riittää, joten Hanning.
3. $\Delta f = \frac{6 - 4}{18} = \frac{1}{9}$ .
4. $f_c$ on siirtymäkaistan keskikohta normalisoituna: $f_c = \frac{(4 + 6)/2}{18} = \frac{5}{18}$ .
5. Hanning: $N = 3.1/\Delta f = 27.9 \to 28 \to$ pariton $N = 29$ .
Edellisen tehtävän suodin (alipäästö, Hanning-ikkuna, päästökaista 0–4 kHz, estokaista 6–9 kHz, $f_s$ = 18 kHz).
Määritä impulssivasteen lauseke $h_t(n)$ alueille $0 < |n| \le (N-1)/2$ , $n = 0$ ja $|n| > (N-1)/2$ .
1. Ideaalisen alipäästön impulssivaste on $h_d(n) = 2f_c \operatorname{sinc}(n \cdot 2\pi f_c)$ , missä $\operatorname{sinc}(x) = \sin(x)/x$ .
2. Hanning-ikkuna on $w(n) = 0.5 + 0.5\cos(2\pi n/N)$ .
3. Kerro nämä keskenään: kun $0 < |n| \le (N-1)/2$ , $h_t(n) = 2f_c \operatorname{sinc}(n \cdot 2\pi f_c)\,(0.5 + 0.5\cos(2\pi n/N))$ .
4. Kun $n = 0$ : sinc-funktion raja-arvo on 1 ja $w(0) = 1$ , joten $h_t(0) = 2f_c$ .
5. Ikkunan ulkopuolella eli kun $|n| > (N-1)/2$ : $h_t(n) = 0$ .
Kaksi napa-nollakuviota:
A: navat (x) noin pisteissä $0.40 \pm 0.36j$ , $0.53 \pm 0.72j$ ja $0.57 \pm 0.81j$ , nollat (o) yksikköympyrällä.
B: kuusinkertainen napa origossa, nollat yksikköympyrällä ja reaaliakselilla (−0.8 ja −1.2).
Kumpi on IIR-suotimen napa-nollakuvio? Millä perusteella?
1. Muista: FIR-suotimen siirtofunktiossa on vain osoittajapolynomi $z^{-1}$ :n suhteen, joten kaikki sen navat ovat origossa.
2. IIR-suotimella on takaisinkytkentä, eli nimittäjä, joka tuottaa napoja muualle kuin origoon.
3. Katso kuvista, missä navat (x) ovat. B:ssä kaikki kuusi napaa ovat origossa, joten se on FIR.
4. A:ssa napoja on origon ulkopuolella, joten A on IIR-suodin. Perustelu: suotimella on ainakin yksi napa muualla kuin origossa.
Digitaalisen signaalin näytteenottotaajuus 48 kHz muunnetaan 16 kHz:iin. Taajuusalue 0–6 kHz tulee säilyä.
Määritä laskostumisenestosuotimen päästö-, esto- ja siirtymäkaista hertseinä.
1. Päästökaista on säilytettävä alue: [0, 6] kHz.
2. Uuden näytteenottotaajuuden Nyquist-taajuus on 16/2 = 8 kHz. Sen yläpuolella oleva sisältö laskostuisi, joten estokaista alkaa 8 kHz:stä.
3. Estokaista ulottuu alkuperäiseen Nyquist-taajuuteen 48/2 = 24 kHz asti: [8, 24] kHz.
4. Siirtymäkaista jää näiden väliin: [6, 8] kHz.
Näytteenottotaajuus pudotetaan 24 kHz:stä 3 kHz:iin. Kaista 0–1000 Hz on säilytettävä.
Selvitä suodinten kertoimien yhteismäärä eri toteutuksissa (myös moniasteiset), kun desimointikertoimet ovat ei-kasvavassa järjestyksessä. Alipäästöt suunnitellaan Blackman-ikkunalla ( $N = 5.5/\Delta f$ ).
Anna kertoimien kokonaismäärät T1–T3 suurimmasta pienimpään.
1. Kokonaisdesimointi $M = 24/3 = 8$ . Ei-kasvavat jaot: $8$ , $4 \cdot 2$ ja $2 \cdot 2 \cdot 2$ .
2. Jokaisessa vaiheessa: päästökaista loppuu 1000 Hz:iin, estokaista alkaa vaiheen ulostulon Nyquist-taajuudesta ( $f_{s,\text{ulos}}/2$ ), ja $\Delta f$ normalisoidaan vaiheen sisääntulotaajuudella.
3. $N = 5.5/\Delta f$ pyöristetään ylös ja seuraavaan parittomaan lukuun.
4. Yksi vaihe (24→3 kHz): $\Delta f = 500/24000$ , $N = 264 \to 265$ . T1 = 265.
5. 4·2: 24→6 kHz: $\Delta f = 2000/24000$ , $N = 66 \to 67$ ; 6→3 kHz: $\Delta f = 500/6000$ , $N = 67$ . T2 = 134.
6. 2·2·2: 24→12: $\Delta f = 5000/24000$ , $N = 26.4 \to 27$ ; 12→6: $\Delta f = 2000/12000$ , $N = 33$ ; 6→3: $N = 67$ . T3 = 127.
7. Kirjaa välivaiheiden $N$ :t ja sisääntulotaajuudet talteen seuraavaa tehtävää varten.
Kuinka monta kertolaskua sekunnissa (MPS) kukin edellisen tehtävän toteutuksista T1–T3 tarvitsee (24 kHz → 3 kHz, Blackman)? Kaava:
$\text{MPS} = \sum_{i=1}^{I} N_i F_i,$
missä $I$ on desimointilohkojen määrä, $N_i$ lohkon kertoimien määrä ja $F_i$ lohkon sisääntulevan signaalin näytteenottotaajuus.
1. Ota edellisestä tehtävästä kunkin lohkon $N_i$ ja sen sisääntulotaajuus $F_i$ .
2. Kerro ne lohkoittain ja laske yhteen.
3. T1: $265 \cdot 24000 = 6\,360\,000$ .
4. T2: $67 \cdot 24000 + 67 \cdot 6000 = 1\,608\,000 + 402\,000 = 2\,010\,000$ .
5. T3: $27 \cdot 24000 + 33 \cdot 12000 + 67 \cdot 6000 = 648\,000 + 396\,000 + 402\,000 = 1\,446\,000$ .
Huomaa, että moniasteinen toteutus on paljon kevyempi, koska suurin osa työstä tehdään pienemmällä näytteenottotaajuudella.
Signaali muunnetaan näytteenottotaajuudelta 48 kHz näytteenottotaajuuteen 32 kHz. Taajuudet 0–14 kHz säilytetään, ja suodatus tehdään yhdellä alipäästösuotimella.
Määritä suotimen päästö-, esto- ja siirtymäkaista normalisoituina taajuuksina.
1. Kirjoita muunnos rationaalisena: $32/48 = 2/3$ , eli interpoloi kertoimella $L = 2$ ja desimoi kertoimella $M = 3$ .
2. Suodin toimii välitaajuudella $2 \cdot 48 = 96$ kHz, joten normalisoi sillä.
3. Estokaistan pitää alkaa pienemmästä Nyquist-taajuudesta: $\min(48/2, 32/2) = 16$ kHz (estää sekä peilikuvat että laskostumisen).
4. Päästökaista: $[0, 14/96] = [0, 7/48]$ .
5. Estokaista: $[16/96, 1/2] = [1/6, 1/2]$ .
6. Siirtymäkaista: $[7/48, 1/6]$ .
Kaksiluokkainen opetusdata: Luokka 1 pisteissä (−2, 0), (−2, −1), (−1, −1), (−1, −2); Luokka 2 pisteissä (1, −1), (1, −2), (2, −2), (0, −3).
Piirrä lähimmän naapurin (1-NN) luokittelijan luokkaraja ja anna luokkarajalla olevien pisteiden koordinaatit ylimmästä $P_1$ alimpaan $P_3$ .
1. Luokkaraja koostuu eri luokkiin kuuluvien lähekkäisten pisteparien välisten janojen keskinormaaleista (pisteet, jotka ovat yhtä kaukana lähimmästä luokan 1 ja luokan 2 pisteestä).
2. Parit (−1, −1)–(1, −1) ja (−1, −2)–(1, −2): keskinormaali on pystysuora suora $x = 0$ .
3. Pari (−1, −2)–(0, −3): keskipiste (−0.5, −2.5), ja keskinormaali on suora $y = x - 2$ .
4. Rajan taitekohdat ovat pisteissä, jotka ovat yhtä kaukana kolmesta pisteestä. Tarkista etäisyydet vaihtoehdoista.
5. $P_1 = (0, 1)$ : etäisyys $\sqrt{5}$ pisteisiin (−2, 0), (−1, −1) ja (1, −1).
6. $P_2 = (0, -2)$ : etäisyys 1 pisteisiin (−1, −2), (1, −2) ja (0, −3).
7. $P_3 = (-0.5, -2.5)$ : jana (−1, −2)–(0, −3) keskipiste, raja kulkee sen kautta.
Fisherin lineaarinen erottelija (LDA). Luokka 1: (−2, 0), (−2, −1), (−1, −1), (−1, −2). Luokka 2: (1, −1), (1, −2), (2, −2), (0, −3). Kovarianssimatriisit:
$\mathbf{C}_1 = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{C}_2 = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
Laske LDA-luokittelijan vektori $\mathbf{w}$ .
1. Kaava: $\mathbf{w} = (\mathbf{C}_1 + \mathbf{C}_2)^{-1}(\mathbf{m}_1 - \mathbf{m}_2)$ .
2. Luokkien keskiarvot: $\mathbf{m}_1 = (-1.5, -1)$ , $\mathbf{m}_2 = (1, -2)$ , joten $\mathbf{m}_1 - \mathbf{m}_2 = (-2.5, 1)$ .
3. Summa: $\mathbf{C}_1 + \mathbf{C}_2 = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4/3 \end{pmatrix}$ .
4. Käännä muistisäännöllä $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ : tulos $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3/4 \end{pmatrix}$ .
5. Kerro: $\mathbf{w} = (1 \cdot (-2.5),\ 0.75 \cdot 1) = [-2.5, 0.75]^T$ .

Opettele nämä kortit Hiffaassa

Hiffaa kysyy kortit sinulta, näyttää vihjeen tarvittaessa ja ajoittaa kertaukset niin, että asiat pysyvät mielessä kokeeseen asti. Tekoälytuutori selittää, mikä meni pieleen.

Harjoittele tätä settiä Hiffaassa Kirjaudu